предыдущая глава содержание следующая глава

ГЛАВА 26. ПЛАВАНИЕ ПО ДУГЕ БОЛЬШОГО КРУГА – ОРТОДРОМИИ
26.1. Локсодромия и ортодромия. Элементы дуги большого круга

Локсодромия и ортодромия на меркаторской путевой карте
Рис. 26.1. Локсодромия и ортодромия на меркаторской путевой карте

26.1.1. Локсодромия и ее элементы

Локсодромия – линия постоянного курса. На морской навигационной карте в проекции Меркатора – прямая линия, пересекающая меридианы под одним и тем же углом КЛОК = const (рис. 26.1).

На сфере:

  при КЛОК = 0°(180°) она совпадает с меридианом (λ = const);
при КЛОК = 90°(270°) она совпадает с параллелью (φ = const);
при КЛОК = 90°(270°) и φ = 0° – она совпадает с экватором;
при КЛОК ≠ 0°(180°) и КЛОК ≠ 90°(270°) – она представляет из себя логарифмическую спираль, стремящуюся к ближайшему полюсу и обращенную выпуклостью к экватору (рис. 26.2).

Локсодромия в переводе с греческого означает «косой бег».

Формула локсодромии:

Локсодромия на поверхности Земли
Рис. 26.2. Локсодромия на поверхности Земли

При плавании судна на небольшие расстояния (сотни миль) и ведении графического счисления пути судна на карте в проекции Меркатора удобно выполнять это плавание по локсодромии – линии постоянного курса, несмотря на то, что это и не кратчайшее расстояние между двумя заданными точками.

26.1.2. Ортодромия и ее элементы

Ортодромия – дуга большого круга (ДБК) – кратчайшее расстояние между двумя точками на земной сфере – кривая, обращенная (на МНК в проекции Меркатора) выпуклостью к ближайшему полюсу (рис.26.1). На картах в гномонической проекции – прямая линия.

Рассмотрим элементы дуги большого круга – ортодромии (рис. 26.3):

Элементы дуги большого круга – ортодромии
Рис. 26.3. Элементы дуги большого круга – ортодромии
  1. Исходная (начальная) точка ортодромии → т. А (φА λА или φ1 λ1).
  2. Начальный курс плавания по ортодромии → КН – горизонтальный угол между северной частью истинного меридиана в т. А и касательной к ортодромии в этой точке, совпадающей с носовой частью продольной оси судна. Отсчитывается от NИ по часовой стрелке от 0° до 360°.
  3. Конечная точка ортодромии → т. В (φВ λВ или φ2 λ2).
  4. Конечный курс плавания по ортодромии → КК – горизонтальный угол между северной частью истинного меридиана в т. В и касательной к ортодромии в этой точке, совпадающей с носовой частью продольной оси судна. Отсчитывается от NИ по часовой стрелке от 0° до 360°.
  5. Точка W → точка пересечения ортодромии и земного экватора (φ0 = 0°, λ0).
  6. Курс К0 → горизонтальный угол между северной частью истинного меридиана в т. W и касательной к ортодромии в этой точке, совпадающей с носовой частью продольной оси судна. Отсчитывается от NИ по часовой стрелке от 0° до 360°.
  7. Точка V (вертекс) → точка ортодромии, имеющая наибольшее значение широты (φV). Это точка «перегиба» ортодромии и курс судна в этой точке КV = 90° – при плавании судна в восточном направлении; или КV = 270° – если судно совершает плавание по ортодромии в западном направлении.

26.2. Основные формулы ортодромии. Способы ее задания

26.2.1. Основные формулы ортодромии

Сферический треугольник ортодромии
Рис. 26.4. Сферический треугольник ортодромии

Треугольник АРNВ – сферический треугольник, элементами которого являются (рис. 26.4):

Из сферической тригонометрии известно «…если в сферическом треугольнике известны три элемента то, по формулам сферической тригонометрии, можно определить и все остальные…».

Применяя формулу «косинуса стороны» («…косинус стороны равен произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними…») можно определить длину ортодромии (D) между любыми двумя ее точками (т. А и т. В), координаты которых известны, то есть:

cosD = cos(90° − φA) · cos(90° − φB) + sin(90° − φA) · sin(90° − φB) · cos(λB – λA)

или, после преобразования:

cosD = sinφA · sinφB + cosφA · cosφB · cos(λB – λA) (26.3)

Применяя формулу «котангенса угла» («…произведение котангенса крайнего угла на синус среднего угла равно произведению котангенса крайней стороны на синус средней стороны минус произведение косинусов средних частей…») можно определить значение начального КH и конечного КK курсов плавания по ортодромии.

ctgКH = cosφA · tgφB · cosec(λB – λA) − sinφA · ctg(λB – λA) (26.4)
ctgКK = −tgφA · cosφB · cosec(λB – λA) + sinφB · ctg(λB – λA) (26.5)

Аналогично определяем остальные величины:

(26.6)

или

(26.7)
(26.8)
tgφi = cosθi · tgφV (26.9)

где θ = λV − λi.

(26.10)
λV = λ0 ± 90° (26.11)

26.2.2. Способы задания ортодромии

Ортодромия может быть задана одним из 4-х способов:

  1. → по координатам любых двух ее точек (т. А: φA λA и т. В: φB λB) при условии, что эти точки не лежат на противоположных концах земного диаметра;
  2. → по координатам любой точки ортодромии (φA λA, φi λi, φB λB…) и направлению (курсу) ортодромии в этой точке (КH или Кi или КK);
  3. → по долготе (λ0) точки пересечения ортодромии с экватором и направлению ортодромии в этой точке (К0);
  4. → по координатам точки V – вертекса (φV λV) ортодромия в этой точке касательна к параллели).

Плавание по ортодромии обычно осуществляется при больших (тысячи миль) океанских переходах и при том условии, что такое плавание будет экономически выгоднее, чем обычное плавание постоянным курсом, то есть по локсодромии.

Плавание по ортодромии считается выгодным если:

(26.12)
где  S – длина локсодромии (мили);
D – длина ортодромии (мили).

То есть для принятия решения «как плыть» необходимо первоначально рассчитать S и D и сравнить их.

26.3. Расчет плавания по локсодромии

Расчет плавания по локсодромии выполняется по формулам аналитического (письменного) счисления.

Протяженность плавания по локсодромии – расстояние между начальной (т. А) и конечной (т. В) точками плавания рассчитывается по формуле:

(26.13)

→ с учетом сжатия Земли;
или

SЛОК = РШ · secKЛОК (26.14)

→ для шара (без учета сжатия Земли).
где РШ = (φB – φA) – разность широт, выполняемая судном при плавании;

(26.15)
где  РД = (λB – λA) – разность долгот, выполняемая судном при плавании;
РМЧ = (МЧB – МЧA) – разность меридиональных частей: конечной (В) и начальной (А) точек плавания судна.

Методику расчета плавания судна по локсодромии рассмотрим на конкретном примере.

Судну предстоит совершить океанский переход по маршруту:

т. А (начало плавания; пункт отхода):  φA = 20°00,0′N, λA = 73°50,0′W.
т. В (пункт прихода): φB = 42°12,0′N, λB = 8°50,0′W.

Решение:

  1. РШ = (φB – φA) = 42°12,0′N – 20°00,0′N = 22°12,0′ к N = +1332′.
  2. РД = (λB – λA) = –8°50,0′– (–73°50,0′) = 65°00,0′ к Е = +3900′.
  3. РМЧ = (МЧB – МЧA) = 2782,4 – 1217,3 = 1565,1
    МЧB = (42°12,0′) = 2782,4
    МЧA = (20°00,0′) = 1217,3    		 из табл. 26 «МТ-75» (с. 280÷287) или из табл. 2.28а «МТ-2000» (с. 314÷321) → см. табл. 26.5
  4. табл. 6а «МТ-75» (с. 155÷199) или табл. 5.42а «МТ-2000» (с. 460÷461) → 68°08′ (см. табл. 26.6).
    Или (через логарифмы):
    табл. 2 «МТ-75» (с. 62÷76) или
    табл. 5.44 «МТ-2000» (с. 465)
    = lg tg КЛОК = 0,39652 → табл. 5а «МТ-75»
    (с.93÷137) → КЛОК = 68°08′NE ≈ 68,1° (см. табл. 26.7).
  5. SЛОК = РШ · sec КЛОК = 1332 · 2,68494 = 3576,3 мили (2,68494 – из табл. 6а «МТ-75» (с. 155÷199) для sec 68°08′ или табл. 5.42а «МТ-2000» (с. 460÷461).
    Или (через логарифмы):
    = lg SЛОК = 3,55343 → табл. 2 «МТ-75»
    (с.62÷76) или табл. 5.44 «МТ-2000» (с. 465) – обр. вход → SЛОК = 3576,3мили (см.табл. 26.4).
Ответ:  при плавании по локсодромии следуя из т. А в т. В постоянным курсом КЛОК = 68°08′(~ 68,1°), пройденное расстояние SЛОК составит 3576,3 мили.

26.4. Расчет плавания по ортодромии

26.4.1. Расчет пройденного по ортодромии расстояния (D)

По формуле 26.3:

cos D = sin φA · sin φB + cos φA · cos φB · cos (λB – λA)
    +20°00′   +42°12′   +20°00′   +42°12′   +65°00′
из табл. 6а «МТ-75» (с. 155÷199) или табл. 5.42а «МТ-2000» (с. 460÷461):
0,52394     
   		 = 0,34202 · 0,67172 + 0,93969 · 0,74080 · 0,42262
из табл. 6а «МТ-75» (или табл. 5.42а «МТ-2000») обратным входом
≈ 58°24,2′ = 3504,2 мили → D. (58° · 60′ + 24,2′) → см. табл. 26.6.

Расчет расстояния D, выполненный по формуле (26.3), проверяем решением данной задачи по таблицам «ТВА-57», где (см. табл. 26.1).

  1. вместо δ → φB;
  2. вместо t → РД;
  3. вместо φC → φA.

Решение по «ТВА-57» возможно, если D < 5400 миль:

Таблица 26.1.


Вывод: и по формуле и по «ТВА-57» – D = 3504,3 мили.

Оцениваем экономичность плавания по ортодромии.

Вывод: плавание по ортодромии выгодно.

26.4.2. Расчет начального курса плавания по ортодромии (КH)

По формуле 26.4:

ctg КH = cos φA · tg φB · cosec (λB – λA) – sin φA · ctg (λB – λA)
    +20°00′   +42°12′   +65°00′   +20°00′   +65°00′
из табл. 6а «МТ-75» (с. 155÷199) или табл. 5.42а «МТ-2000» (с. 460÷461):
0,78064     
   		 = 0,93969 · 0,90674 · 1,10338 – 0,34202 · 0,46631
из табл. 6а «МТ-75» (или табл. 5.42а «МТ-2000») обратным входом
КH = 52°01,4′ ≈ 52,0° (см. табл. 26.6).
Вывод:  и по «ТВА-57» и по формуле – начальный курс плавания по ортодромии из т. А → КH = 52°01,4′ ≈ 52,0°.

Правило знаков:

26.4.3. Расчет конечного курса плавания по ортодромии (КK)

По формуле 26.5:

ctg КK = –tg φA · cos φB · cosec (λB – λA) + sin φB · ctg (λB – λA)
    +20°00′   +42°12′   +65°00′   +42°12′   +65°00′
из табл. 6а «МТ-75» (с. 155÷199) или табл. 5.42а «МТ-2000» (с. 460÷461):
0,01573     
   		 = –0,36397 · 0,74080 · 1,10338 + 0,67172 · 0,46631
из табл. 6а «МТ-75» (или табл. 5.42а «МТ-2000») обратным входом по ctg КK = 0,01573 находим значение
КK = 89°06,0′ ≈ 89,1°, т.е. в т. В курс судна КK = 89,1° (см. табл. 26.6).

26.4.4. Расчет значений К0 и λ0

По формуле 26.8:


= sin62°12′ · cosec22°12′ · tg32°30′ = (см. т. 6а «МТ-75» или т. 5.42а «МТ-2000») = 0,88458 · 2,64662 · 0,63707 = 1,49147

т.е.



tg(−41°20′ − λ0) = (т. 6а «МТ-75» или т. 5.42а «МТ-2000») = 56°09,6′ (см. табл. 26.6).

Тогда:

−41°20′ − λ0 = 56°09,6′,

а для

λ0 = −41°20′ − 56°09,6′ = −97°29,6′

т.е.

λ0 = 97°29,6′W.

(Или через логарифмы):

       из табл. 5а «МТ-75» (с. 93÷137) обратным входом → 56°09,6′ и тогда:

λ0 = −41°20,0′ − 56°09,6′ = −97°29,6′

т.е.

λ0 = 97°29,6′W.

А по формуле (26.7):

tgφA = sin(λA − λ0) · ctgK0




(Или через логарифмы):

+ lg tg φA (+20°00′) =
lg cosec (λA – λ0) (+23°39,6′) =
= lg ctg К0 → = 9,95759 → из т. 5а «МТ-75» (обратным входом) →
47°47,6′ ≈ 47,8°, т.е. К0 = 47,8° (см. табл. 26.7).
Схема плавания судна по ДБК – ортодромии
Рис. 26.5. Схема плавания судна по ДБК – ортодромии

26.4.5. Расчет координат промежуточных точек ортодромии

1) По значениям λ0 и К0.

λ0 = 97°29,6′W   К0 = 47°47,6′.

По формуле 26.7 → tgφi = sin(λi − λ0) · ctg К0

из табл. 6а «МТ-75» (с. 155÷199) или табл. 5.42а «МТ-2000» (с. 460÷461).

Для промежуточной точки № 1:

tgφi = sin(λi − λ0) · ctg К0 = sin(67°29,6′ − 97°29,6′) · ctg47°47,6′ = sin30° · ctg47°47,6′ = 0,50000 · 0,90685 = 0,45343(tgφi) →

→ из табл. 6а «МТ-75» или табл. 5.42а «МТ-2000» (обратный вход) →

φi = 24°23,6′N (см. табл. 26.6).

Задаваясь значениями долготы λi (через 10°) по формуле (7) рассчитываем значения широт всех промежуточных точек φi. Выполним это через логарифмы (табл. 26.2):

lg tgφi = lg sin(λi − λi) + lg ctg K0
табл. 5а «МТ-75» (с. 93÷137) (табл. 26.7).


Таблица 26.2

№№ точек Заданная долгота λi
(через 10°)		 λi − λ0
λ0 = 97°29,6′W		 lg sin(λi − λ0) lg tgφi φi
1 67°29,6′W 30° 9,69897 9,95759 9,65656 24°23,6′N
2 57°29,6′W 40° 9,80807 9,95759 9,76566 30°14,5′N
3 47°29,6′W 50° 9,88425 9,95759 9,84184 34°47,4′N
4 37°29,6′W 60° 9,93753 9,95759 9,89512 38°08,9′N
5 27°29,6′W 70° 9,97299 9,95759 9,93058 40°26,4′N
6 17°29,6′W 80° 9,99335 9,95759 9,95094 41°46,2′N

2) Проверим правильность расчета φi по координатам «вертекса»

φV = 90° − K0 = 90° − 47°47,6′ = 42°12,4′N

λV = λ0±90° = 97°29,6′ − 90° = 7°29,6′W

tgφi = cosθi · tgφV

θ = λV − λi (26.16)
lgφi = lg cosθi + lg tgφV (26.17)

табл. 5а «МТ-75» (с. 93÷137).

Для промежуточной точки № 1:

tgφi = cos(λV − λi) · tgφV = cos(7°29,6′ − 67°29,6′) · tg42°12,4′ = cos60° · tg42°12,4′ = 0,50000 · 0,90695 = 0,4534(tgφi) →
→ из табл. 6а «МТ-75» или табл. 5.42а «МТ-2000» (обратный вход) →

φi = 24°23,6′N (см. табл. 26.6).

Задаваясь значениями долготы λi через 10° (λ2 = 57°29,6′W, λ3 = 47°29,6′W, λ4 = 37°29,6′W, λ5 = 27°29,6′W, λ6 = 17°29,6′W) по формуле (26.17) рассчитываем значения широт всех промежуточных точек. Выполним это через логарифмы по формуле (26.17). Результаты расчетов сведены в табл. 26.3.


Таблица 26.3

№№ точек Заданная долгота λi
(через 10°)		 θ = λV − λi
λV = 7°29,6′W		 lg cosθ lg tgφV
(φV = 42°12,4′N)		 lg tgφi φi
1 67°29,6′W 60° 9,69897 9,95758 9,65655 24°23,6′N
2 57°29,6′W 50° 9,80807 9,95758 9,76565 30°14,5′N
3 47°29,6′W 40° 9,88425 9,95758 9,84183 34°47,4′N
4 37°29,6′W 30° 9,93753 9,95758 9,89511 38°08,9′N
5 27°29,6′W 20° 9,97299 9,95758 9,93057 40°26,4′N
6 17°29,6′W 10° 9,99335 9,95758 9,95093 41°46,2′N
Вывод:  расчеты выполнены правильно. Аналогично можно выполнить расчет φi через 5° по долготе (а не через 10°), что чаще всего и выполняется.

Нанеся по координатам начальную точку (т. А), 6 промежуточных точек (тт. 1÷6) и конечную точку (т. В) на морскую навигационную карту(ы), получим (рис. 26.6) маршрут перехода судна с изменением курса через каждые 10° долготы (плавание по хордам ортодромии).

Схема плавания судна по хордам ортодромии
Рис. 26.6. Схема плавания судна по хордам ортодромии

26.4.6. Задачи на расчет плавания по ДБК



Логарифмы чисел
(выдержка из табл. 2 «МТ-75» или табл. 5.44 «МТ-2000»)

Таблица 26.4

Число 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
133
156
159
162
199
212
217
256
299
309
318
319
322
325
347
348
357
361
367
370
390
393
416
419
519
543
703
788		 12.385
19.312
20.140
20.952
29.885
32.634
33.646
40.824
47.567
48.996
50.243
50.379
50.786
51.188
54.033
54.158
55.267
55.751
56.467
56.820
59.106
59.439
61.909
62.221
71.517
73.480
84.696
89.653		 12.418
19.340
20.167
20.978
29.907
32.654
33.666
40.841
47.582
49.010
50.256
50.393
50.799
51.202
54.045
54.170
55.279
55.763
56.478
56.832
59.118
59.450
61.920
62.232
71.525
73.488
84.702
89.658 		12.450
12.368
20.194
21.005
29.929
32.675
33.686
40.858
47.596
49.024
50.270
50.406
50.813
51.215
54.058
54.183
55.291
55.775
56.490
56.844
59.129
59.461
61.930
62.242
71.533
73.496
84.708
89.664 		12.483
19.396
20.222
21.032
29.951
32.695
33.706
40.875
47.611
49.038
50.284
50.420
50.826
51.228
54.070
54.195
55.303
55.787
56.502
56.855
59.140
59.472
61.941
62.252
71.542
73.504
84.714
89.669		 12.516
19.424
20.249
21.059
29.973
32.715
33.726
40.892
47.625
49.052
50.297
50.433
50.840
51.242
54.083
54.208
55.315
55.799
56.514
56.867
59.151
59.483
61.951
62.263
71.550
73.512
84.720
89.675		 12.548
19.451
20.276
21.085
29.994
32.736
33.746
40.909
47.640
49.066
50.311
50.447
50.853
51.255
54.095
54.220
55.328
55.811
56.526
56.879
59.162
59.494
61.962
62.273
71.559
73.520
84.726
89.680		 12.581
19.479
20.303
21.112
30.016
32.756
33.766
40.926
47.654
49.080
50.325
50.461
50.866
51.268
54.108
54.233
55.340
55.823
56.538
56.891
59.173
59.506
61.972
62.284
71.567
73.528
84.733
89.686		 12.613
19.507
20.330
21.139
30.038
32.777
33.786
40.943
47.669
49.094
50.338
50.474
50.880
51.282
54.120
54.245
55.352
55.835
56.549
56.902
59.184
59.517
61.982
62.294
71.575
73.536
84.739
89.691		 12.646
19.535
20.358
21.165
30.060
32.797
33.806
40.960
47.683
49.108
50.352
50.488
50.893
51.295
54.133
54.258
55.364
55.847
56.561
56.914
59.195
59.528
61.993
62.304
71.584
73.544
84.745
89.697		 12.678
19.562
20.385
21.192
30.081
32.818
33.826
40.976
47.698
49.122
50.365
50.501
50.907
51.308
54.145
54.270
55.376
55.859
56.573
56.926
59.207
59.539
62.003
62.315
71.592
73.552
84.751
89.702

Например: 1) lg 3900 → 3,59106; 2) lg 1565,1 → 3,19454

Меридиональные части
(выдержка из табл. 26 «МТ-75» или табл. 2.28а «МТ-2000»)

Таблица 26.5

Натуральные значения тригонометрических функций
(выдержка из табл. 6-а «МТ-75» или 5.42-а «МТ-2000»)

Таблица 26.6

Логарифмы тригонометрических функций
(выдержка из табл. 5-а «МТ-75»)

Таблица 26.7

Выводы

  1. Ортодромия – дуга большого круга (ДБК) – кратчайшее расстояние между двумя точками. На земной сфере – прямая, на МНК в проекции Меркатора – кривая, обращенная выпуклостью к ближайшему полюсу. На картах в гномонической проекции – прямая линия.
  2. Элементы ортодромии рассчитываются по формулам сферической тригонометрии.
  3. Плавание судна по ортодромии выгодно, если:

    S – длина локсодромии,

    D – длина ортодромии.


Примечание: Самоконтроль знаний по теме проводится по тестовым заданиям к главе на базе приложения «Компьютерная система тестирования знаний «OPENTEST».



ПЕРЕХОД К САМОТЕСТИРОВАНИЮ


предыдущая глава содержание следующая глава